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Punti di Non Derivabilità
 
 
 

Classificazione e studio dei

Punti di Non
Derivabilità

Matematica · Classe 5ª Liceo Scientifico

f'(x₀) = lim[h→0] [f(x₀+h)−f(x₀)] / h

📐 Richiamo: Derivabilità e Continuità
Teorema fondamentale
Derivabile ⟹ Continua

Ma l'inverso NON vale.
Una funzione può essere continua in x₀ senza essere derivabile in x₀.

Questo significa che esistono punti in cui la funzione è "regolare" ma il suo grafico presenta un comportamento geometrico singolare.
Rapporto incrementale
La derivata è definita come:
f'(x₀) = lim f(x₀+h) − f(x₀)
           h→0            h
Se questo limite:
  • non esiste finito → punto di non derivabilità
  • è ±∞ → punto singolare classificabile (angoloso, cuspide o flesso)
  • è un numero reale → funzione derivabile
📊 I Tre Tipi di Punti di Non Derivabilità
PUNTO ANGOLOSO
Condizione:
f'₋(x₀) ≠ f'₊(x₀)
almeno una finita
Geometria:
Due semitangenti distinte. Almeno una non è verticale. Il grafico "cambia direzione" bruscamente.
Esempio:
y = |x| in x₀ = 0:
f'₋(0) = −1, f'₊(0) = +1
CUSPIDE
Condizione:
f'₋(x₀) e f'₊(x₀)
infinite di segno OPPOSTO
Geometria:
Tangente verticale con "punta". La curva si avvicina da entrambi i lati con tangente verticale ma da direzioni opposte.
Esempio:
y = ∛x² in x₀ = 0:
cuspide verso il basso
FLESSO A TANG. VERT.
Condizione:
f'₋(x₀) = f'₊(x₀)
entrambe +∞ oppure −∞
Geometria:
Tangente verticale attraversata dalla curva. La funzione "attraversa" la sua stessa tangente verticale.
Esempio:
y = ∛x in x₀ = 0:
flesso a tangente verticale
📐 Punto Angoloso — Analisi Dettagliata
Definizione: Le derivate destra e sinistra esistono in x₀, sono diverse tra loro, e almeno una è finita. Geometricamente esistono due semitangenti distinte.
Caso 1 — entrambe finite:
f'₋(x₀) = l₁ e f'₊(x₀) = l₂
con l₁ ≠ l₂, entrambi ∈ ℝ
Esempio classico: y = |x|, x₀ = 0
f'₋(0) = −1, f'₊(0) = +1
Caso 2 — una infinita:
f'₋(x₀) finita e f'₊(x₀) = ±∞
Una semitangente è verticale, l'altra no. Il grafico ha un "angolo acuto" con la verticale.
⚠ Attenzione: Nei punti di raccordo di funzioni definite per casi, usare sempre il Teorema del Limite della Derivata.

y = |x| presenta un punto angoloso in x₀ = 0

🔺 Cuspide — Analisi Dettagliata
Definizione: Sia la derivata destra che sinistra sono infinite ma di segno opposto. La tangente nel punto x₀ è verticale, ma la curva "torna indietro" formando una punta acuta.
Cuspide verso il BASSO:
f'₋(x₀) = −∞ e f'₊(x₀) = +∞
La curva si avvicina a x₀ "da sotto" da entrambi i lati, con tangente verticale.
Cuspide verso l'ALTO:
f'₋(x₀) = +∞ e f'₊(x₀) = −∞
La "punta" è rivolta verso l'alto.
Nota importante: Nella cuspide la tangente esiste (è verticale), ma la funzione non è derivabile perché il limite del rapporto incrementale è ±∞, non finito.

y = ∛(x²) presenta una cuspide in x₀ = 0

📈 Flesso a Tangente Verticale — Analisi Dettagliata
Definizione: Sia la derivata destra che sinistra sono infinite e dello stesso segno. La curva attraversa la sua tangente verticale. È un punto di flesso con tangente verticale (cambio di concavità).
f'₋(x₀) = f'₊(x₀) = +∞:
La funzione "sale" attraversando la verticale
f'₋(x₀) = f'₊(x₀) = −∞:
La funzione "scende" attraversando la verticale
🔑 Differenza chiave con la cuspide:

• Flesso: le derivate hanno lo stesso segno
• Cuspide: le derivate hanno segno opposto

In entrambi i casi la tangente è verticale, ma la forma geometrica è completamente diversa.

y = ∛x presenta un flesso a tangente verticale in x₀ = 0

📜 Teorema del Limite della Derivata (Teo. 15)
TEOREMA 15 — Limite della Derivata
Sia f continua in x₀ e derivabile in un intorno di x₀, eccetto al più x₀. Se esistono (finiti o infiniti) i limiti: lim f'(x) = l₁ e lim f'(x) = l₂ x→x₀⁻ x→x₀⁺ allora risulta: f'₋(x₀) = l₁ e f'₊(x₀) = l₂.

In particolare, se l₁ = l₂ = l ∈ ℝ, allora f è derivabile in x₀ e f'(x₀) = l.
Quando si applica questo teorema?

1
Quando x₀ annulla l'argomento di un valore assoluto
es. f(x) = |x|·x → studia x₀ = 0
2
Quando x₀ annulla l'argomento di una radice
es. f(x) = ∛x·(x+1) → studia x₀ = 0
3
Quando x₀ è un punto di raccordo di una funzione definita per casi
es. f(x) = { eˣ se x<0 ; 2x+1 se x≥0 } → studia x₀ = 0
✏️ Esempi Risolti
Esempio a
f(x) = |x|·x
f(x) = x² (x≥0), −x² (x<0) f'(x) = 2x (x>0), −2x (x<0) lim f'(x) = 0 = lim f'(x) x→0⁺ x→0⁻ → f'(0) = 0: DERIVABILE
✓ Derivabile in x = 0
Esempio b
f(x) = ∛x · (x+1)
f'(0) = lim f(h)/h h→0 = lim ∛h·(h+1)/h h→0 = lim (h+1)/∛h² h→0 → +∞ (limite = +∞ da entrambi i lati)
Flesso a tang. vert. in x = 0
Esempio c
f(x) = eˣ (x<0), 2x+1 (x≥0)
Continuità: e⁰ = 1 = 2·0+1 ✓ f'(x) = eˣ (x<0), 2 (x>0) lim f'(x) = e⁰ = 1 x→0⁻ lim f'(x) = 2 x→0⁺ → f'₋(0)=1 ≠ f'₊(0)=2
Punto angoloso in x = 0
🗺️ Schema: Come Classificare un Punto
1
Verifica la continuità in x₀
Se f non è continua in x₀ → non è derivabile, ma il punto non è classificabile come "punto di non derivabilità" nel senso classico.
2
Calcola f'₋(x₀) e f'₊(x₀)
Usa il Teorema 15 (limite della derivata) oppure direttamente la definizione di derivata.
3
Confronta i risultati:
• f'₋ ≠ f'₊ (almeno una finita) → Punto angoloso • f'₋ e f'₊ infinite di segno opposto → Cuspide • f'₋ = f'₊ infinite dello stesso segno → Flesso a tangente verticale • f'₋ = f'₊ finito → Derivabile (nessuna singolarità)
 
 
 

Riepilogo
Concetti Chiave

📐 Punto Angoloso
🔺 Cuspide
📈 Flesso a Tang. Vert.
📜 Teorema 15

Derivabile ⟹ Continua, ma non vale l'inverso.
Studia sempre le derivate laterali nei punti critici.

 

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